Jujukan Fibonacci adalah satu daripada penemuan matematik paling terkenal dan paling menakjubkan, terus memberikan inspirasi kepada ahli-ahli sains, jurutera, artis, serta para penyelidik di seluruh dunia. Jujukan ini mempamerkan hubungan mendalam antara bidang matematik dan juga alam semula jadi, budaya, serta proses-proses teknologi. Konsep universal ini dijadikan contoh jelas bagaimana idea matematik yang abstrak dapat digunakan secara praktikal dalam bermacam-macam bidang aktiviti manusia, mengesahkan tentang idea ke saling hubungan semua fenomena yang berlaku di dunia. Jujukan Fibonacci juga sering digunakan dalam dagangan di pasaran kewangan. Pada platform MetaTrader 4 (MT4), dalam banyak-banyak perkakas grafik sedia ada, anda boleh memilih untuk menggunakan Draw Fibonacci retracement. Dengan memilih pilihan tersebut, seseorang pedagang boleh mengenal pasti paras sokongan dan rintangan yang berpotensi untuk wujud, dan mengira titik perubahan harga yang mungkin berlaku. Jadi, siapakah genius matematik ini, dan bagaimana jujukan beliau itu digunakan?
Leonardus Pisanus
Leonardo dari Pisa, lebih dikenali sebagai Fibonacci telah dilahirkan pada sekitar tahun 1170 di Pisa (sebuah negara kota, kini sebahagian daripada Itali). Leonardo tidak pernah menggelar dirinya sendiri sebagai “Fibonacci”. Gelaran “Leonardo Fibonacci” diketahui telah disebut buat pertama kalinya dalam rekod Perizolo da Pisa, sebuah Notari dari Empayar Roman Suci dari tahun 1506. Perkataan Fibonacci adalah gabungan dua patah perkataan, “filius Bonacci” yang dapat dilihat pada kulit buku “Book of Abacus”, dan ia mungkin memberi maksud “anak Bonacci”. Menurut satu lagi teori, perkataan “Bonacci” boleh ditafsir sebagai satu nama gelaran yang bermaksud “bertuah”. Ahli matematik itu biasanya akan menulis tandatangan beliau sebagai “Bonacci”, walaupun kadang kala beliau turut menggunakan nama “Leonardo Bigollo” (perkataan “bigollo” dalam dialek Tuscan memberi makna “perayau” atau “pemalas”).
Membesar dalam keluarga peniaga, Leonardo telah mengenali dunia perdagangan serta aspek penggunaan matematik sejak kecil lagi, besar mempengaruhi minat serta pencapaian saintifik beliau. Bapanya sering mengembara ke Algeria untuk berdagang, di mana Leonardo mempelajari matematik yang di ajar oleh guru-guru berbangsa Arab. Selepas itu, Fibonacci melawati negara Mesir, Syria, dan Byzantium, membiasakan diri beliau dengan hasil kerja ahli matematik purba dan India yang dialih bahasa ke dalam bahasa Arab. Berbekalkan ilmu pengetahuan ini, Fibonacci menulis beberapa risalah matematik, dan yang paling terkenal adalah “Book of Abacus” (Latin: Liber abaci) yang diterbitkan pertama kalinya pada tahun 1202, dan edisi semakan semula selepas itu pada tahun 1228.
Buku ini khusus menerangkan tentang eksposisi dan promosi berkenaan aritmetik perpuluhan serta meletakkan batu asas bagi penyebaran angka info-Arab, termasuklah konsep nombor sifar. Dalam hasil kerja ini, Fibonacci meneroka potensi yang ada pada nombor-nombor tersebut yang disalahertikan sebelum ini, mengubah bidang matematik secara radikal di Eropah. Lebih utama lagi, “Book of Abacus” telah ditulis dalam bahasa mudah, dan lebih jelas berbanding prototaip purba dan Islam yang dijadikan rujukan. Masalah penggunaan dibentangkan, disasarkan secara khusus kepada pedagang, membantu menaikkan kemasyhuran dan popularitinya.
Masalah Pembiakan Semula Arnab
Sumbangan Fibonacci dalam bidang matematik yang paling dikenali adalah nombor-nombor yang membawa namanya. Masalah berkaitan pembiakan semula arnab yang digariskan di dalam buku “Book of Abacus” adalah contoh klasik bagi penghasilan jujukan yang terkenal itu. Masalah ini dibangkitkan bagi menggambarkan prinsip dalam pertambahan populasi arnab. Persoalannya adalah seperti berikut: Katakanlah terdapat dua ekor arnab yang baru dilahirkan, seekor jantan dan seekor lagi betina. Kedua-dua ekor arnab ini mula membiak setelah mencapai usia sebulan. Pada setiap hujung bulan pula, tiap-tiap pasangan dewasa ini akan melahirkan sepasang arnab yang baru (seekor jantan dan seekor betina). Dengan mengandaikan tiada sebarang kematian dalam kalangan arnab-arnab ini dan mereka terus membiak mengikuti aturan yang disebutkan tadi, berapa banyak pasangan arnab yang boleh diperoleh dalam masa setahun?
Intipati untuk menyelesaikan masalah ini terletak pada hakikat bahawa bilangan pasangan arnab pada bulan seterusnya adalah bersamaan dengan jumlah pasangan arnab yang ada pada bulan sebelum itu dicampur dengan bilangan pasangan arnab yang baru dilahirkan pada bulan sebelumnya. Ini kerana setiap pasangan dewasa akan menyumbangkan sepasang arnab lagi ke dalam jumlah keseluruhan. Maka, jujukannya adalah seperti berikut: (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, dan seterusnya, di mana setiap jujukan adalah hasil tambah dua nombor sebelumnya. Urutan nombor ini telah diberi nama sebagai jujukan Fibonacci.
Hubungan dengan Nisbah Emas
Jujukan Fibonacci bukan saja menunjukkan pertambahan populasi dalam model matematik, malah juga menggambarkan hubungan antara matematik serta hukum alam yang saling mempengaruhi, sangat berkait dengan Nisbah Emas.
Asal usul Nisbah Emas boleh dijejak jauh ke dalam sejarah. Sesetengah kajian menyatakan bahawa orang Mesir purba mungkin telah lama menyedarinya, khususnya dalam pembinaan piramid, walaupun bukti boleh ditafsir dalam pelbagai cara. Eksposisi bersistematik bagi prinsip Nisbah Emas yang pertama diketahui adalah berasal daripada ahli matematik Yunani purba iaitu Euclid. Hasil kerja beliau iaitu “Elements” menerangkan tentang pembahagian segmen ke dalam “nisbah min dan ekstrem”. Euclid meletakkan asas matematik bagi nisbah ini tanpa menghargai nilai aestatik yang ada sekarang. Antara contoh praktikal penggunaan nisbah ini pada zaman Yunani Purba selepas itu adalah kuil Parthenon yang terkenal di Athens (447-438 BC), dikaitkan dengan hasil kerja arkitek Ictinus dan Callicrates.
Semasa Zaman Renaissance, minat terhadap Nisbah Emas ini menjadi semakin meningkat dalam kalangan ahli seni dan arkitek seperti Leonardo da Vince dan Le Corbusier yang mula aktif menggunakannya dalam hasil kerja mereka, sehingga berjaya mencapai bentuk yang harmoni dan sempurna. Leonardo da Vinci mendalami dan menggunakan Nisbah Emas dalam hasil kerja beliau yang terkenal, termasuklah “Mona Lisa” dan “Vitruvian Man”. Beliau merujuk Nisbah Emas sebagai “Kadar Suci”, menekankan tentang kepentingannya terhadap bidang seni dan seni bina yang mendalam.
Maka, apakah yang dimaksudkan dengan “Kadar Suci”? Ia adalah nombor-nombor tidak rasional yang digambarkan dengan huruf Yunani φ (phi), bersamaan kira-kira 1.618033988749895. Nisbah ini wujud apabila terdapat satu garis (atau satu objek) yang boleh dibahagikan sedemikian rupa sehingga nisbah keseluruhan kepada bahagian yang lebih besar adalah sama dengan nisbah bahagian yang lebih besar kepada yang lebih kecil.
Hubung kait antara jujukan Fibonacci dan juga Nisbah Keemasan menyatakan bahawa lebih tinggi nombor jujukan yang dilalui, nisbah antara dua nombor Fibonacci berturut-turut akan menjadi lebih hampir kepada Nisbah Keemasan. Sebagai contoh, membahagikan nombor 21 dengan nombor sebelumnya dalam turutan iaitu 13 menghasilkan kira-kira 1.615. Semakin tinggi nombor dalam jujukan, nilai nisbah ini menjadi semakin hampir dengan 1.618, atau “Kadar Suci."
Hubungan ini bukan saja dapat dilihat dalam bidang matematik malah juga pada alam semula jadi, bidang seni, seni bina, dan lain-lain bidang di mana perkadaran yang hampir mencapai Nisbah Keemasan dianggap sebagai harmoni dan menyenangkan secara estetik. Sifat unik dan bentuk jelas berkenaan idea harmoni ini telah menjadikan Nisbah Keemasan sebagai satu subjek kajian dan penggunaan sepanjang zaman.
Menggunakan Nombor Fibonacci
Hubungan rapat antara jujukan Fibonacci dengan Nisbah Keemasan menjadikannya sebagai satu perkakas unik bagi membuat analisis serta memahami fenomena dan bentuk alam semula jadi. Nombor Fibonacci boleh ditemui dalam pelbagai aspek bidang saintifik yang besar, daripada susunan daun dan bunga pada tumbuhan sehingga lingkaran galaksi. Dalam bidang muzik, sesetengah komposer menyusun hasil kerja mereka dengan menentukan kepanjangan segmen melodi atau harmoni dengan menggunakan nombor-nombor Fibonacci.
Dalam biologi, nombor-nombor ini menjelaskan tentang susunan dedaun, ranting, malah biji benih yang ada pada bunga bagi membantu memaksimumkan kawasan yang terdedah kepada cahaya matahari dan lain-lain sumber. Sebagai contoh, pada bunga matahari, jumlah lingkaran biji benih yang mengikuti arah sama dan arah bertentangan adalah sama dengan nombor Fibonacci yang berturut-turut. Sama seperti masalah arnab yang sebenar, nombor urutan ini boleh dijadikan sebagai model senario pertumbuhan populasi yang realistik untuk pelbagai jenis spesis biologi.
Dalam bidang fizik kuantum, jujukan yang sama seperti nombor Fibonacci boleh menerangkan tentang sebahagian sifat kuasikkristal dan lain-lain struktur yang rumit. Susunan atom molekul pada sebahagian kompaun kimia adalah mengikuti jujukan analogi Fibonacci, memberi kesan kepada sifat fizikal dan kimia mereka. Dalam bidang pengaturcaraan, nombor Fibonacci digunakan secara meluas untuk mendalami tentang algoritma rekursif dan berulang. Ia telah digunakan dalam sesetengah modal kepintaran buatan bagi mengoptimumkan proses pembelajaran serta pengecaman corak. Ia juga digunakan untuk mengoptimumkan teori serta pembangunan algoritma yang berkesan, termasuklah bagi menilai tahap kerumitan masalah, mengoptimumkan carian dalam pangkalan data, dan menambah baik prestasi pada sistem.
Kajian dalam bidang psikologi menunjukkan bahawa orang ramai menggunakan prinsip yang hampir sama seperti jujukan Fibonacci secara intuitif semasa membuat keputusan dalam keadaan tidak menentu, contohnya semasa menilai tentang kadar kebarangkalian. Fenomena ini telah digunakan pada dagangan dalam pasaran kewangan, menggabungkan gerak hati pasaran dan juga matematik yang akan kita bincangkan dengan lebih mendalam pada artikel berasingan.
Kembali Kembali
