مستويات فيبوناتشي: من الحضارات القديمة إلى الأسواق المالية

يعد تسلسل فيبوناتشي أحد أكثر الاكتشافات الرياضية شهرة وإبهارًا، ولا يزال مصدر إلهام للعلماء والمهندسين والفنانين والباحثين في جميع أنحاء العالم. ويعرض العلاقة العميقة بين الرياضيات والعمليات الطبيعية والثقافية والتكنولوجية. يعد هذا المفهوم العالمي بمثابة مثال حي على كيف يمكن للأفكار الرياضية المجردة أن تجد تطبيقًا عمليًا في مختلف مجالات النشاط البشري، مما يؤكد فكرة الترابط بين جميع الظواهر في العالم. يتم استخدام تسلسل فيبوناتشي بشكل نشط، بما في ذلك في التداول في الأسواق المالية. في منصةMetaTrader 4 (MT4)، من بين الأدوات الرسومية المضمنة، يمكن للمتداول العثور على خيار رسم تصحيح فيبوناتشي. باستخدامه، يمكن للمتداول تحديد مستويات الدعم والمقاومة المحتملة، وحساب نقاط انعكاس السعر المحتملة. إذن، من هو هذا العبقري الرياضي، وماذا يستلزم تسلسله؟

ليوناردوس بيسانوس

ولد ليوناردو البيزا، المعروف باسم فيبوناتشي، حوالي عام 1170 في بيزا (دولة المدينة، وهي الآن جزء من إيطاليا). ليوناردو نفسه لم يطلق على نفسه اسم "فيبوناتشي" أبدًا. أول ذكر معروف لـ "ليوناردو فيبوناتشي" ظهر في سجلات بيريزولو دا بيزا، كاتب العدل في الإمبراطورية الرومانية المقدسة، منذ عام 1506. كلمة فيبوناتشي هي اختصار لكلمتين، "filius Bonacci"، والتي ظهرت على غلاف "كتاب العداد"، وربما كان يعني "ابن بوناتشي". ووفقا لنظرية أخرى، يمكن تفسير "بوناتشي" على أنه لقب يعني "المحظوظ". عادة ما كان عالم الرياضيات يوقع نفسه باسم "بوناتشي"، على الرغم من أنه استخدم أحيانًا اسم "ليوناردو بيجولو" (كلمة "بيجولو" في اللهجة التوسكانية تعني "المتجول" وكذلك "العاطل").

نشأ ليوناردو في عائلة تجارية، وتعرف على التجارة والجوانب العملية للرياضيات منذ سن مبكرة، مما ساهم بشكل كبير في تشكيل اهتماماته وإنجازاته العلمية. كان والده يسافر كثيرًا إلى الجزائر من أجل أمور تجارية، حيث درس ليوناردو الرياضيات على يد مدرسين عرب. وفي وقت لاحق، زار فيبوناتشي مصر وسوريا وبيزنطة، وتعرف على أعمال علماء الرياضيات القدماء والهنود المترجمة إلى العربية. بناءً على هذه المعرفة، كتب فيبوناتشي العديد من المقالات الرياضية، أهمها "كتاب العداد" (باللاتينية: Liber abaci)، نُشر لأول مرة في عام 1202، مع طبعة منقحة تلت ذلك في عام 1228.

خصص هذا الكتاب لشرح وترويج الحساب العشري، ووضع الأساس لانتشار الأرقام الهندية العربية، بما في ذلك مفهوم الصفر. في هذا العمل، استكشف فيبوناتشي إمكانات هذه الأرقام، التي أسيء فهمها سابقًا، مما أدى إلى تغيير الرياضيات الأوروبية بشكل جذري. والأهم من ذلك أن "كتاب العداد" كتب بلغة بسيطة، أوضح بكثير من نماذجه القديمة والإسلامية. وقد سهلت المشاكل العملية التي طرحتها، والتي استهدفت التجار في المقام الأول، شهرتها وشعبيتها.

مشكلة تكاثر الأرانب

مساهمة فيبوناتشي الأكثر شهرة في الرياضيات تأتي من الأرقام التي تحمل اسمه. تعتبر مشكلة تكاثر الأرانب، الموضحة في "كتاب العداد"، بمثابة مثال كلاسيكي أدى إلى صياغة التسلسل الشهير. تم اقتراح هذه المشكلة لتوضيح مبدأ النمو السكاني لدى الأرانب. ونص على النحو التالي: لنفترض أن هناك زوجًا من الأرانب حديثة الولادة، ذكرًا وأنثى. تبدأ الأرانب في التكاثر عند بلوغها سن شهر واحد. في نهاية كل شهر، ينتج كل زوج بالغ زوجًا جديدًا من الأرانب (ذكر وأنثى). على افتراض أن الأرانب لا تموت وتستمر في التكاثر وفقًا لهذه القواعد، فكم زوجًا من الأرانب سيكون هناك في السنة؟

يكمن جوهر حل المشكلة في أن عدد أزواج الأرانب في كل شهر لاحق يساوي مجموع عدد الأزواج في الشهر السابق وعدد الأزواج التي ولدت في الشهر السابق لذلك. وذلك لأن كل زوج بالغ يساهم بزوج إضافي في العدد الإجمالي. وبذلك يصبح التسلسل كما يلي: (0)، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987، 1597، وهكذا، حيث كل رقم هو مجموع الرقمين السابقين. وقد أصبح هذا التسلسل يعرف باسم تسلسل فيبوناتشي.

العلاقة مع النسبة الذهبية

لا توضح تسلسل فيبوناتشي نموذجًا رياضيًا للنمو السكاني فحسب، بل تعرض أيضًا التفاعل بين الرياضيات والقوانين الطبيعية، وتربطها بشكل وثيق مع النسبة الذهبية.

تمتد أصول النسبة الذهبية إلى أعماق التاريخ. تشير بعض الدراسات إلى أن المصريين القدماء ربما كانوا على علم بها، خاصة في بناء الأهرامات، على الرغم من أنه يمكن تفسير الأدلة بطرق مختلفة. يُنسب أول عرض منهجي معروف لمبادئ النسبة الذهبية إلى عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس، الذي وصف في عمله "العناصر" تقسيم القطعة إلى "نسبة متطرفة ومتوسطة". لقد وضع إقليدس الأساس الرياضي لهذه النسبة لكنه لم ينسب إليها القيمة الجمالية التي تحملها اليوم. ومن بين الأمثلة العملية اللاحقة لهذه النسبة في اليونان القديمة، معبد البارثينون الشهير في أثينا (447-438 قبل الميلاد)، المنسوب إلى المهندسين المعماريين إيكتينوس وكاليكراتس.

خلال عصر النهضة، زاد الاهتمام النسبة الذهبية حيث بدأ الفنانون والمهندسون المعماريون مثل ليوناردو دا فينشي ولو كوربوزييه في استخدامها بنشاط في أعمالهم، والسعي لتحقيق الانسجام والكمال في الشكل. اكتشف ليوناردو دافنشي النسبة الذهبية وطبقها في أعماله الشهيرة، بما في ذلك "الموناليزا" و"الرجل الفيتروفي". وأشار إلى النسبة الذهبية باسم "النسبة الإلهية"، مسلطًا الضوء على أهميتها العميقة للفن والهندسة المعمارية.

إذن، ما هو هذا "النسبة الإلهية"؟ وهو رقم غير نسبي، يُشار إليه بالحرف اليوناني φ (phi)، ويساوي تقريبًا 1.618033988749895. تنشأ هذه النسبة عندما يمكن تقسيم خط (أو كائن آخر) بطريقة تكون نسبة الكل إلى الجزء الأكبر مساوية لنسبة الجزء الأكبر إلى الأصغر.

تتجلى العلاقة بين تسلسل فيبوناتشي والنسبة الذهبية في أنه كلما تقدمنا في التسلسل، كلما اقتربت نسبة رقمين متتاليين فيبوناتشي من النسبة الذهبية. على سبيل المثال، قسمة الرقم 21 على الرقم السابق في التسلسل، 13، ينتج عنه 1.615 تقريبًا. ومع زيادة الأرقام في التسلسل، تصبح هذه النسبة أقرب إلى 1.618، أو "النسبة الإلهية".

ولا تنعكس هذه العلاقة في الرياضيات فحسب، بل أيضًا في الطبيعة والفن والهندسة المعمارية وغيرها من المجالات، حيث تعتبر النسب القريبة من النسبة الذهبية متناغمة بشكل خاص وممتعة من الناحية الجمالية. إن خصائصها الفريدة وتجسيدها لفكرة التناغم تجعل من النسبة الذهبية موضوعًا أبديًا للدراسة والتطبيق.

استخدام أرقام فيبوناتشي

إن الارتباط الوثيق بين تسلسل فيبوناتشي والنسبة الذهبية يجعلها أداة فريدة لتحليل وفهم الأشكال والظواهر الطبيعية. توجد أرقام فيبوناتشي في العديد من جوانب المجالات العلمية المختلفة، بدءًا من ترتيب الأوراق والأزهار على النباتات وحتى حلزونات المجرات. في الموسيقى، قام بعض الملحنين بتنظيم أعمالهم من خلال تحديد أطوال اللحن أو مقاطع التناغم بأرقام فيبوناتشي.

في علم الأحياء، تشرح هذه الأرقام ترتيب الأوراق والفروع وحتى البذور في الزهور، مما يساعد على تعظيم التعرض لأشعة الشمس والموارد الأخرى. على سبيل المثال، في عباد الشمس، غالبًا ما يتوافق عدد اللوالب البذور في اتجاه واحد والآخر مع أرقام فيبوناتشي المتتالية. كما هو الحال في مشكلة الأرانب الأصلية، يمكن لهذا التسلسل أن يمثل سيناريوهات واقعية للنمو السكاني لمختلف الأنواع البيولوجية.

في فيزياء الكم، يمكن لتسلسلات مشابهة لتسلسل فيبوناتشي أن تصف خصائص معينة لأشباه البلورات وغيرها من الهياكل المعقدة. يتبع ترتيب الذرات في جزيئات بعض المركبات الكيميائية تسلسلًا مشابهًا لتسلسل فيبوناتشي، مما يؤثر على خواصها الفيزيائية والكيميائية. في البرمجة، يتم استخدام تسلسل فيبوناتشي على نطاق واسع لتدريس الخوارزميات العودية والتكرارية. وقد تم تطبيقه في بعض نماذج الذكاء الاصطناعي لتحسين عمليات التعلم والتعرف على الأنماط. كما أنها تستخدم في نظرية التحسين وتطوير خوارزميات فعالة، بما في ذلك تقييم مدى تعقيد المشكلة، وتحسين استعلامات قاعدة البيانات، وتحسين أداء النظام.

تظهر الأبحاث في علم النفس أن الناس يستخدمون بشكل حدسي مبادئ مشابهة لتسلسل فيبوناتشي عند اتخاذ القرارات في ظل عدم اليقين، على سبيل المثال، عند تقييم الاحتمالات. وقد وجدت هذه الظاهرة تطبيقا في التداول في الأسواق المالية، حيث دمجت الرياضيات مع حدس السوق، وهو ما سنناقشه بالتفصيل في مقال منفصل.