ลำดับเลขฟีโบนัชชี (Fibonacci) คือ หนึ่งในการค้นพบทางคณิตศาสตร์ที่เป็นที่โด่งดังและน่าทึ่งมากที่สุด และยังคงสร้างแรงบันดาลใจให้กับนักวิทยาศาสตร์ วิศวกร ศิลปิน และนักวิจัยทั่วโลก ลำดับเลขนี้บ่งบอกถึงความเชื่อมโยงกันอย่างลึกซึ้งระหว่างคณิตศาสตร์และกระบวนการทางธรรมชาติ วัฒนธรรม และเทคโนโลยี หลักการสากลนี้เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของไอเดียทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรม ซึ่งสามารถนำมาใช้งานจริงได้ในกิจกรรมหลายด้านของมนุษย์ ช่วยยืนยันแนวคิดของความเชื่อมโยงระหว่างกันของปรากฏการณ์ทั้งหมดในโลกนี้ ลำดับเลขฟีโบนัชชีเป็นสิ่งที่มีการใช้งานเป็นอย่างมาก โดยเฉพาะในการเทรดในตลาดการเงิน บนแพลตฟอร์ม MetaTrader 4 (MT4) ก็มีเครื่องมือที่ติดตั้งมาในแพลตฟอร์มให้นักเทรดสามารถวาด Fibonacci retracement ได้ ซึ่งนักเทรดสามารถใช้ในการหาระดับแนวรับและแนวต้าน และคำนวณโอกาสที่ราคามีโอกาสจะกลับตัว ว่าแต่ว่าอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์คนนี้คือใครกัน และลำดับเลขของเขาคืออะไรกันแน่?
Leonardus Pisanus
Leonardo of Pisa หรืออีกชื่อหนึ่งที่รู้จักกันมากกว่าคือ Fibonacci หรือ ฟีโบนัชชี เขาเกิดในช่วงปีประมาณ 1170 ที่เมืองปิซา (เมืองหนึ่งในอิตาลีในปัจจุบัน) ลีโอนาร์โดเองนั้นไม่เคยเรียกชื่อตนเองว่า “ฟีโบนัชชี” การพูดถึง “ลีโอนาร์โด ฟีโบนัชชี” เป็นครั้งแรกนั้นปรากฏในบันทึกของ Perizolo da Pisa ผู้เป็นพนักงานจดทะเบียนของจักรวรรดิโรมันอันศักดิ์สิทธิ์ ตั้งแต่ปี 1506 คำว่าฟีโบนัชชีนั้นเป็นคำย่อมาจากสองคำคือ "filius Bonacci," ซึ่งปรากฏขึ้นในหน้าปกของหนังสือเรื่อง "Book of Abacus," และอาจจะหมายถึง “บุตรชายของ Bonacci” อีกหนึ่งทฤษฎีระบุว่า “Bonacci” อาจตีความได้ว่าเป็นชื่อเล่นที่แปลว่า “โชคดี” นักคณิตศาสตร์ท่านนี้มักจะลงลายมือของเขาว่า “Bonacci” แต่บางครั้งเขาก็ใช้ชื่อว่า “Leonardo Bigollo” (คำว่า “bigollo” ในภาษาท้องถิ่นของ Tuscan แปลว่า “ผู้พเนจร” รวมถึง “คนขี้เกียจ”)
ฟีโบนัชชีเติบโตในครอบครัวพ่อค้า เขาเริ่มทำคาวมคุ้นเคยกับเรื่องการค้าและการนำหลักคณิตศาสตร์มาใช้งานจริงตั้งแต่อายุยังน้อย ๆ ซึ่งช่วยขัดเกลาความสนใจและความสำเร็จทางวิทยาศาสตร์ของเขาเป็นอย่างมาก บิดาของเขามักจะเดินทางไปยังแอลจีเรียบ่อยครั้งเพื่อทำธุระด้านการค้า ซึ่งลีโอนาร์โดเองได้ศึกษาหลักคณิตศาสตร์กับคุณครูชาวอาหรับ ในเวลาต่อมา เขาได้เดินทางไปยังอียิปต์ ซีเรีย และไบแซนเทียม จนทำความคุ้นเคยกับผลงานของนักคณิตศาสตร์โบราณและของอินเดียที่ถูกแปลมาเป็นภาษาอาหรับ เขาต่อยอดความรู้ที่ได้รับมา โดยนำมาเขียนเป็นบทความด้านคณิตศาสตร์หลายบทความ เกิดเป็นหนังสือเล่มที่สำคัญมากที่สุดเรื่อง "Book of Abacus" (ภาษาละติน: Liber abaci) ซึ่งเผยแพร่ครั้งแรกในปี 1202 และมีการปรับปรุงใหม่ในปี 1228
หนังสือเล่มนี้อุทิศให้กับการค้นพบและส่งเสริมการใช้เลขฐานสิบ และวางพื้นฐานในการขยายความนิยมของเลขอินโดอารบิก รวมถึงหลักการใช้เลขศูนย์ ในผลงานของเขา ฟีโบนัชชีได้ค้นพบศักยภาพของเลขเหล่านี้ ซึ่งก่อนหน้ามีความเข้าใจผิด ๆ จนเกิดเป็นการเปลี่ยนแปลงอย่างสุดขั้วในหลักคณิตศาสตร์ของยุโรป ที่สำคัญก็คือ หนังสือเรื่อง "Book of Abacus" นั้นเขียนขึ้นมาในภาษาที่เข้าใจง่าย เข้าใจง่ายยิ่งกว่าต้นแบบฉบับโบราณและของอิสลาม มีการนำเสนอโจทย์ในชีวิตจริง และมุ่งเน้นสำหรับกลุ่มพ่อค้า จึงส่งผลให้เป็นที่รู้จักและได้รับความนิยมมาก
โจทย์เรื่องการสืบพันธุ์ของกระต่าย
ผลงานที่มีชื่อเสียงมากที่สุดของฟีโบนัชชี คือ ลำดับเลขที่ตั้งชื่อตามชื่อของเขา โจทย์เรื่องการสืบพันธุ์ของกระต่ายนั้นมีเค้าโครงอยู่ในหนังสือเรื่อง "Book of Abacus" ซึ่งเป็นตัวอย่างคลาสสิกที่นำไปสู่การค้นพบลำดับเลขอันโด่งดังนี้ โจทย์ข้อนี้มีไว้เพื่อสาธิตให้เห็นถึงหลักการเติบโตของประชากรกระต่ายว่า สมมติว่ามีกระต่ายคู่หนึ่งที่เพิ่งเกิดขึ้นมาใหม่ ๆ เป็นกระต่ายเพศผู้ และเพศเมีย กระต่ายสองตัวนี้เริ่มสืบพันธุ์กันเมื่ออายุครบหนึ่งเดือน ในช่วงท้ายเดือนแต่ละเดือน กระต่ายคู่นี้จะออกลูกเป็นกระต่ายคู่ใหม่ (เพศผู้และเพศเมีย) สมมติว่ากระต่ายเหล่านี้ไม่ได้ตาย และยังคงขยายพันธุ์ต่อเนื่องตามกฎเหล่านี้ ในเวลาหนึ่งปีจะมีกระต่ายทั้งหมดกี่คู่?
หลักการแก้โจทย์ข้อนี้อยู่ที่ จำนวนคู่กระต่ายในแต่ละเดือนถัดมานั้นเท่ากับผลรวมของจำนวนคู่กระต่ายในเดือนก่อนหน้า และจำนวนคู่กระต่ายเกิดใหม่ในเดือนก่อนหน้านั้น เพราะว่ากระต่ายแต่ละคู่นั้นจะออกอีกหนึ่งคู่จากจำนวนรวมทั้งหมด ดังนั้น ลำดับเลขที่ได้จะเป็นไปดังนี้: (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 และต่อไปเรื่อย ๆ ซึ่งแต่ละเลขนั้นจะเป็นผลรวมของเลขสองตัวก่อนหน้า ลำดับเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อว่าลำดับเลขฟีโบนัชชี (Fibonacci sequence)
การเชื่อมโยงกับอัตราส่วนทองคำ
ลำดับฟีโบนัชชีไม่ได้แค่สาธิตให้เห็นถึงโมเดลทางคณิตศาสตร์ของการเติบโตของประชากรเท่านั้น แต่ยังแสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงกันระหว่างกฎทางคณิตศาสตร์และกฎธรรมชาติ ซึ่งมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับอัตราส่วนทองคำ (Golden Ratio)
ต้นกำเนิดของอัตราส่วนทองคำนั้นมีประวัติศาสตร์ที่ลึกซึ้งยาวนาน งานวิจัยบางชิ้นชี้ว่า ชาวอียิปต์โบราณอาจค้นพบมันในระหว่างการก่อสร้างปิรามิด แต่หลักฐานนั้นก็สามารถตีความได้หลายทาง การค้นพบหลักการอัตราส่วนทองคำอย่างเป็นระบบครั้งแรกนั้นเริ่มขึ้นโดย Euclid นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ เขาได้เขียนผลงานเรื่อง “Elements” ซึ่งอธิบายการแบ่งสัดส่วนต่าง ๆ ออกเป็น “อัตราส่วนสุดขั้วและเฉลี่ย” Euclid ได้วางรากฐานของอัตราส่วนทางคณิตศาสตร์นี้ไว้ แต่ไม่ได้ให้เหตุผลที่เป็นคุณค่าทางความงามที่มันมีอยู่ในปัจจุบัน ในบรรดาตัวอย่างการใช้งานของอัตราส่วนนี้ในกรีกโบราณคือ การสร้างวิหารพาร์เธนอนในอาเธนส์ (ปี 447-438 ก่อนคริสต์ศักราช) ซึ่งเป็นผลงานของสถาปนิกที่ชื่อว่า Ictinus และ Callicrates
ในช่วงสมัยเรเนซองส์ ความสนใจในอัตราส่วนทองคำเพิ่มขึ้น เพราะมีศิลปินและสถาปนิกเช่น Leonardo da Vinci และ Le Corbusier ที่เริ่มนำมาใช้ในผลงานของพวกเขากันมากขึ้น เพื่อให้ได้รูปแบบที่ดูมีความกลมกลืนและสมบูรณ์แบบ Leonardo da Vinci ได้ศึกษาเรื่องอัตราส่วนทองคำและนำไปใช้ในผลงานชื่อดังของเขา รวมถึงรูปภาพชิ้นงานที่โด่งดังอย่าง "Mona Lisa" และ "Vitruvian Man" เขาพูดถึงอัตราส่วนทองคำดังกล่าวว่าเป็น “สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” ซึ่งเน้นย้ำถึงความสำคัญอย่างลึกซึ้งของมันในผลงานศิลปะและสถาปัตยกรรม
แล้ว “สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” ที่ว่านี้คืออะไร? มันคือเลขที่ไม่เป็นเหตุเป็นผลที่กำหนดเป็นตัวอักษรภาษากรีกคือ φ (phi) ซึ่งโดยประมาณแล้วเท่ากับ 1.618033988749895 อัตราส่วนนี้จะปรากฏขึ้นเมื่อมีเส้นหนึ่ง (หรืออีกวัตถุหนึ่ง) ที่สามารถแบ่งออกในรูปแบบที่อัตราส่วนของทั้งหมดต่อส่วนที่มีขนาดใหญ่กว่านั้นเท่ากับอัตราส่วนของส่วนที่มีขนาดใหญ่กว่าต่อส่วนที่มีขนาดเล็กกว่า
การเชื่อมโยงกันระหว่างลำดับเลขฟีโบนัชชีและอัตราส่วนทองคำเผยให้เห็นว่า ยิ่งเรานับลำดับไปไกลเท่าไร อัตราส่วนของเลขฟีโบนัชชีที่ติดต่อกันสองลำดับจะเข้าใกล้กับอัตราส่วนทองคำมากยิ่งขึ้น เช่น หากเราหารเลช 21 โดยเลขก่อนหน้าในลำดับ ซึ่งก็คือ 13 จะได้ผลลัพธ์เป็น 1.615 และเมื่อเลขในลำดับนั้นเพิ่มขึ้น อัตราส่วนนี้ก็จะเข้าใกล้กับ 1.618 หรือ “สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” มากขึ้น
ความสัมพันธ์นี้สะท้อนให้เห็นไม่ใช่แค่ในหลักคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงในธรรมชาติ ศิลปะ สถาปัตยกรรม และด้านอื่น ๆ ซึ่งสัดส่วนที่ใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำนั้นถือว่ามีความกลมกลืนและดูสวยงามอย่างน่าประทับใจ มันคือคุณสมบัติที่พิเศษและเป็นศูนย์รวมของแนวความคิดเรื่องการกลมกลืนกัน ซึ่งทำให้หลักอัตราส่วนทองคำนั้นเป็นวิชาที่มีการศึกษาและนำไปใช้อย่างเสมอมา
การใช้ลำดับเลขฟีโบนัชชี
ความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดของลำดับฟีโบนัชชีกับอัตราส่วนทองคำทำให้มันเป็นเครื่องมือพิเศษสำหรับการวิเคราะห์และทำความเข้าใจรูปแบบและปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ ลำดับเลขฟีโบนัชชีพบเห็นได้ในหลายแง่มุมทางด้านวิทยาศาสตร์ ตั้งแต่การเรียงตัวของใบ้ไม้และดอกไม้ในต้นไม้ ไปจนถึงวงแหวนในกาแล็กซี ในแวดวงดนตรี นักประพันธ์เพลงบางท่านได้พัฒนาผลงานเพลงโดยกำหนดระยะระหว่างจังหวะด้วยเลขฟีโบนัชชี
ในด้านชีววิทยา ตัวเลขเหล่านี้อธิบายการเรียงตัวของใบไม้ กิ่งไม้ และแม้แต่เมล็ดในดอกไม้ ซ฿่งช่วยในการรับแสงแดดและแร่ธาตุให้ได้มากที่สุด เช่น ในดอกทานตะวัน จำนวนเมล็ดที่เรียงตัวในแต่ละทิศทางนั้นมักจะสอดคล้องกันกับลำดับเลขฟีโบนัชชี เช่นเดียวกันกับโจทย์เรื่องการขยายพันธุ์ของกระต่าย ลำดับเลขนี้สามารถเป็นต้นแบบการเติบโตของประชากรที่สมจริงที่ใช้ได้กับพืชพันธุ์หลากหลายชนิด
ในหลักควอนตัมฟิสิกส์ ลำดับที่คล้ายกันกับฟีโบนัชชีสามารถใช้อธิบายคุณสมบัติบางประการของควอซีคริสตัลและโครงสร้างที่ซับซ้อนอื่น ๆ การเรียงตัวของอะตอมในโมเลกุลของสารประกอบทางเคมีบางประการนั้นเป็นไปตามลำดับที่คล้ายกันกับฟีโบนัชชี ซึ่งส่งผลต่อคุณสมบัติทางกายภาพและทางเคมี ในการเขียนโปรแกรม ลำดับฟีโบนัชชีนั้นเป็นที่ใช้งานอย่างมากในการสอนอัลกอริทึมแบบย้อนกลับและทำซ้ำ โดยนำไปใช้ในโมเดลปัญญาประดิษฐ์หรือ AI บางตัวเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพในกระบวนการเรียนรู้และการจดจำรูปแบบ อีกทั้งยังใช้ในทฤษฎีการหาคำตอบที่เหมาะสมและการพัฒนาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ รวมถึงการประเมินความซับซ้อนของปัญหา การพัฒนาคำสั่งสำหรับฐานข้อมูลอย่างเหมาะสม และการพัฒนาประสิทธิภาพของระบบ
การวิจัยในด้านจิตวิทยาแสดงให้เห็นว่า คนเรามีสัญชาตญาณในการใช้หลักการที่คล้ายกันกับลำดับเลขฟีโบนัชชีเมื่อทำการตัดสินใจภายใต้สถานการณ์ที่ไม่แน่นอน เช่น ในการประเมินความน่าจะเป็น ปรากฏการณ์นี้พบว่ามีการใช้งานในตลาดการเงิน หลักการทางคณิตศาสตร์ การเข้าใจตลาด ซึ่งเราจะอธิบายในรายละเอียดในอีกบทความแยกต่างหาก
กลับ กลับ
